गणित कक्षा - 10th

 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

गणित ( सम्पूर्ण चैप्टर )

कक्षा - 10 

अध्याय - 1

वास्तविक संख्याएँ 

महत्वपूर्ण तथ्य

➡ प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप  में व्यक्त किया जा सकता है |

➡ दो संख्याओं का गुणनफल = म.स. (HCF) × ल.स. (LCM) 

➡ दो अभाज्य संख्याओं का म.स. (HCF)  1 होता है तथा ल.स. उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है अर्थात् यदि p और q दो अभाज्य संख्याएँ है तो इनका HCF 1 होगा तथा LCM    pq   होगा |

 

प्रश्न - 1 सही विकल्प चुनकर लिखिए ?

(1). दो संख्याएँ और इस प्रकार हैं कि ab = 64 और HCF (a,b) = 16 हैं, तो LCM (a,b):

(a) 4     (b) 8         (c) 32      (d) 256

(2). संख्याओं 5 और 10 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा:

(a) 0        (b) 1     (c) 5     (d) 10

(3) संख्याओं 5, 15, 20 के लिए LCM और HCF का अनुपात होगाः

(a) 9:1   (b) 4:3   (c) 11:1.  (d) 12:1

(4) 96 एवं 404 का 404 का H.C.F . होगा — 

(a) 120       (b) 4       (c)  10       (d) 3

(5) H.C.F.( 91,21) हैं —

(a) 91          (b) 21       (c) 7         (d) 12

(6) H.C.F.( 6,20) हैं —

(a) 6          (b) 20       (c) 2         (d) 120

प्र. 02 रिक्त स्थान भरिएः

(i). प्रत्येक भाज्य संख्या को...............संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 

(ii) 3√ 2 एक ...............…......संख्या है। (अपरिमेय / परिमेय)

(iii) √ 2 एक ...............…......संख्या है। (अपरिमेय / परिमेय)

(iv) H.C.F (a,b)  × L.CM(a,b) = .............…......

(v)

निर्धारित अंक - 2

1. संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप व्यक्त कीजिए ?

2.संख्या 148 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप व्यक्त कीजिए ?

3. संख्या 5005 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप व्यक्त कीजिए ?

4.संख्या 3825 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए ?

5.संख्या 7429 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए ?

6. व्याख्या कीजिए कि 7× 11× 13+ 13 और 7×6×5×4×3×2×1+5 भाज्य संख्याएँ क्यों है ?

7. संख्याओं 6,72 और 120 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

8.संख्याओं 17,23 और 29 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

9.संख्याओं 8,9 और 25 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

10.संख्याओं 12,15और 21 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

11. संख्याओं 96 और 404 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

12. संख्याओं 6 और 20 का अभाज्य गुणनखंडन विधि HCF तथा LCM ज्ञात कीजिए ?

13. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या 4 शून्य पर समाप्त हो सकती है | 

14 .HCF (306,657) = 9 दिया है | LCM (306,657) ज्ञात कीजिए ? 

15. दर्शाइए कि 5 - √3 एक  अपरिमेय  संख्या है ?

16. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 12,15 और 21 का HCF ज्ञात कीजिए ?

17. सिध्द कीजिए 2√3 एक अपरिमेय संख्याएँ है ?

18. सिध्द कीजिए 3√2 एक अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात है  ?

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 2

बहुपद

 

महत्वपूर्ण तथ्य - 

➡ बहुपद की घात :- किसी बहुपद p(x)

जैसे - बहुपद 3x³ - 2x² + 5x + 1 में चर x की उच्चतम घात 3 है इसलिए इस बहुपद की घात भी 3 है |

प्रश्न - 1 सही विकल्प चुनकर लिखिए ?

1.यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा:

(a) c/a   (b) a/c   (c) – c/a  (d) – a/c

2. यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान होगा:

(a) b/a  (b) b/c (c) – b/a (d) – a/c

3. रेखीय बहुपद ax + b का शून्यक होगा :

(a) a/b   (b) b/a  (c) – b/a  (d) a/c

4. बहुपद x2 – 3 के शून्यक होंगे:

(a) ±√3   (b) ± 3  (c) 3 (d) 9

5. बहुपद x2 + 7x + 10 के शून्यक होंगे:

(a) 2, 5  (b) – 2, – 5  (c) – 2, 5  (d) 2, – 5

6. बहुपद (x + 1) (x2 – x – x4 + 1) के लिए घात होगी:

(a) 2    (b) 3.   (c) 4.   (d) 5

7. यदि द्विघात बहुपद के शून्यक – 3 तथा 4 हों तो द्विघात बहुपद होगा:

(a) x2 – x – 12   (b) x2 + x + 12

(c) x2/2 – x/2 – 6   

(d) x2/2 + x/2 – 6

8. किसी बहुपद के कुल शून्यक, उस बहुपद के आरेख के निम्लिखित पर प्रतिच्छेदन के कुल बिन्दुओं की संख्या के बराबर होते हैं :

(a) x –अक्ष पर      (b) y –अक्ष पर

(c) x –अक्ष तथा y –अक्ष दोनों पर   (d) इनमें से कोई नहीं

9.  बहुपद 6x2 + 13x + 7 के शून्यकों का योगफल  होगा —

(a) -13/6         (b) 7/6     (c) 6/7    (d) 6/13

10.बहुपद x2 + 10x + 24 के शून्यकों का गुणनफल  होगा:

(a) 10       (b) -10        (c) 24      (d) 34 

11. त्रिघात बहुपद में  कितने शून्यक होते  हैं |

(a) 1      (b) 0        (c) 2     (d) 5

12.  द्विघात बहुपद ax2 + bx + c का आलेख का प्रकार होता हैं —

(a)  सरल रेखा    (b) समान्तर रेखा   

 (c) परवलय        (d)  वक्र रेखा

13. यदि द्विघात बहुपद 2x3 +3x2 + 4x + 5 के शून्यकों की अधिकतम संख्या होगी —

(a) 1       (b) 0          (c) 2     (d) 3

 

प्र. 02 रिक्त स्थान भरिएः

1) बिन्दु (0,4) ...............अक्ष पर स्थित हैं | 

2.यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c में शून्यकों का गुणनफल .................... होगा | 

3.यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c में शून्यकों का योगफल  .................... होगा | 

4. यदि द्विघात बहुपद 2x2 -  7x - 9  में शून्यकों का योगफल  .................... होगा | 

5. व्दिघातीय बहुपदों में .................... शून्यक होते हैं |

6. एक त्रिघात बहुपद के अधिक - से - अधिक.......शून्यक हो सकते हैं |

7. दो   बहुपदों का योग ............ होता हैं |

8. एक बहुपद जिसकी घात 3 है वह .......….बहुपद कहलाता हैं |

9. एक बहुपद जिसकी घात 2 है वह .......….बहुपद कहलाता हैं |

10. एक बहुपद जिसकी घात 1 है वह .......….बहुपद कहलाता हैं |

11. चर x  के बहुपद  p(x) में x की उच्चतम घात .........बहुपद की घात ...................कहलाती हैं |

प्र.03 सत्य / असत्य लिखिए :

(1). किसी बिन्दु का भुज शून्य है और कोटि 3 है तब वह x - अक्ष पर स्थित होगा ।

2. व्दिघातीय बहुपदों में दो शून्यक होते हैं |

3. घात  2 के किसी बहुपद के अधिक - से - अधिक दो शून्यक हो सकते हैं 

प्र. एक शब्द / एक वाक्य में उत्तर दीजिये ? 

1.यदि द्विघात बहुपद का व्यापक रूप लिखिए  :

2. यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान क्या होगा:

3. यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α  β का मान क्या होगा:

प्र. व्दिघात बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात कीजिए 

प्र.व्दिघात बहुपद 3x² + 4x - 4 के शून्यक ज्ञात कीजिए 

 प्र .व्दिघात बहुपद 4u² + 8u  के शून्यक ज्ञात कीजिए 

प्र. व्दिघात बहुपद t² - 15 के शून्यकों  ज्ञात कीजिए ?

प्र. व्दिघात बहुपद 6x² - 3- 7x के शून्यक ज्ञात कीजिए ?

प्र. व्दिघात बहुपद x² +7x + 10  के शून्यक ज्ञात कीजिए 

प्र. एक व्दिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश : -3 और 2 हैं | 

प्र. एक व्दिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश : - ¼और ¼ हैं | 

प्र. एक व्दिघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश : 5 और 3 हैं | 

प्र. व्दिघात बहुपद x² - 3 के शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए ?

प्र. व्दिघात बहुपद 4x² + 5x - 6 के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए ?

प्र. दिए गए चित्र में बहुपद p(x) के लिए, Y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है |

p(x) के शून्यको ं की संख्या कारण सहित बतलाइए |

 

प्र. बहुपद के शून्यको की संख्या  ज्ञात कीजिए ?

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय- 3

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म 

➡ दो चर वाले रैखिक समीकरण : -

ax + by + c = 0 

➡ दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के हलों की प्रकृति :

          

➡ दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की विधियाँ  :- 

(i). ग्राफीय विधि 

(ii) बीजगणितीय विधि              

           (A) विस्थापन विधि 

           (B) विलोपन विधि 

           

प्रश्न - 1 सही विकल्प चुनकर लिखिए ?

(1)  जब , हो, तो समीकरण निकाय a1x+b1y+c1=0 तथा a2x + b2y + c2 = 0
(a) एक अद्वितीय हल होगा |(b) कोई हल नहीं होगा 
(C)अनन्तः अनेक हल होंगे । (d) इनमें से कोई नहीं

(2)

3)

4. 

5. x - 2y = 0 और 3x + 4y  - 20 = 0 रेखाएं —

(a) प्रतिच्छेद करती हैं        (b) संपाती हैं

(c) समान्तर हैं              (d) इनमें से कोई नहीं  |

6 समीकरण निकाय x + 2y + 5 = 0 एवं -3x -6y +1 =0 का  हल होगा ?

(a) एक अद्वितीय हल होगा |(b) कोई हल नहीं होगा 
(C)अनन्तः अनेक हल होंगे । (d) इनमें से कोई नहीं

प्र. 02 रिक्त स्थान भरिएः

1. समीकरण x + y  = 8  में  यदि x = 3  तो y  = ...........................होगा |

2.समीकरण x + y  = 5  में  यदि x = 1 तो y  = ...........................होगा |

प्र. एक शब्द / एक वाक्य में उत्तर दीजिये ? 

1.  दो चरों x एवं y वाले  रैखिक समीकरण का मानक रुप लिखिए  ? 

निर्धारित अंक - 2 

1. तीन बल्ले तथा छ: गेंदों की कीमत ₹ 3900 है तथा एक बल्ले एवं तीन गेंदों की कीमत ₹ 1300 है | बीजगणितीय समीकरणों का निर्माण कीजिए 

2. रैखिक समीकरण y = mx + 3 में यदि x = -2 , y = 5 हो तो m का क्या मान होगा ?

3. अफताब अपनी पुत्री से कहता है, सात वर्ष पूर्व मैं 

4. दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का एक उदाहरण लिखिए जिसके द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर रेखाएँ हों | 

5. रोमिला एक स्टेशनरी की दुकान में गई और ₹ 9 में 2 पेंसिंल तथा 3 रबड़ खरीदीं | उसकी सहेली सोनाली ने रोमिला के पास नई तरह की पेंसिंल और रबड़ देखीं और उसने भी ₹ 18 में उसी तरह की 4 पेंसिंल और 6 रबड़ खरीदीं | इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए ?

6. अनुपातों 

7. 5 पेंसिंल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिंल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 45 है | इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए ?

8 रैखिक समीकरण युग्म

 2x + y - 6 = 0 एवं

 4x - 2y - 4 = 0

का हल संगत है या असंगत | 

 9. रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए।

 x + y = 14

x - y = 4

10.. 

निर्धारित अंक 4 

1. रैखिक समीकरण युग्म

 x + 3y = 6

2x -3y = 12 

को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए ? 

2. रैखिक समीकरण युग्म

 7x - 15y = 2

x + 2y = 3

को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए ?  IMP 

2. रैखिक समीकरण युग्म

 x - 2y = 0

3x + 4y = 20

को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए ? 

प्र. रैखिक समीकरण युग्म

x  + y = 5

2x -3y = 4

को विलोपन  विधि से हल कीजिए ? 

प्र. रैखिक समीकरण युग्म

3x + 4y = 10

2x - 2y = 2 

को विलोपन  विधि से हल कीजिए ? 

. रैखिक समीकरण युग्म

 7x - 15y = 2

x + 2y = 3

को विलोपन विधि से हल कीजिए ?  IMP 

रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए

 3x - 5y - 4 = 0 

  9x = 2y + 7

3. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है | उन्हे ज्ञात कीजिए ? IMP

4. एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदे ₹ 3800 में खरीदीं | बाद में उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं | प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए ?

5.दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिये।

6. दो संपूरक कोणों मे बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक हैं | उन्हें ज्ञात कीजिये ? 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

  अध्याय - 4  

 द्विघात समीकरण 

प्रश्न - 1 सही विकल्प चुनकर लिखिए ?

i.द्विघात समीकरण में मूलों की अधिकतम संख्या होती हैं।

(a) 0    (b) 2     (c) 1   (d) 3

ii.द्विघात समीकरण x2- 4x + 4 = 0 के विविक्तकर मान होगा-

(a) 4     (b) 2    (c) 0   (d) 1

iii. k का / के मान जिसके लिए द्विघात समीकरण 2x²-kx+k=0 के समान मूल हैं, होगा / होंगे- 

(a) 0    (b) 4     (c) 8     (d) 0, 8.

 iv. समीकरण (x-2)² = 0 के हल हैं- 

(a)-2   (b) 2    (c) 2, 2    (d)-2,-2.

 v. यदि ax²+bx+c=0 का विविक्तकर का मान शून्य है, तो द्विघात समीकरण के-

 (a) दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे 

(b) दो बराबर वास्तविक मूल होंगे 

 (c) कोई वास्तविक मूल नहीं होगा 

(d) इनमें से कोई नहीं। 

vi. द्विघात समीकरण का मानक रूप है-

 (a) a²x+bx+c=0    (b) ax²-bx+c

  (c) ax²+bx+c=0  (d) a²x+bx+c² = 0.

vii. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के कोई मूल वास्तविक नहीं होते यदि 

(a) b²+4ac0  (b) b²-4ac=0 

(c) b²-4ac <0     (d) b² - 4ac =0.

 viii. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल वास्तविक एवं बराबर होंगे यदि-

(a) b²-4ac0.        (b) b²-4ac0 

 (c) b²-4ac <0     (d) b²--4ac²- =0. 

(v) वृत्त के किसी विन्दु पर खीची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या होगी-

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

(1) . द्विघात समीकरण के विविक्तकर का सूत्र है D = ..........|

(2). किसी द्विघात समीकरण के मूल यदि वास्तविक और समान हैं तो विविक्तकर का मान ..................होगा |

(3).द्विघात समीकरण x2 + x - 1 = 0 के मूलों की प्रकृति .......होगी 

(4)श्रीधराचार्य ने एक सूत्र प्रतिपादित किया जिसे अब ........के रूप में जाना जाता है।

(5). द्विघात समीकरण में चर राशि को अधिकतम घात... होती है। 

(6). यदि b²-4ac=0 हो, तो द्विघात समीकरण के दोनों मूल ...................होंगे

 7).  ax²+bx+c=0 में कोई वास्तविक मूल नहीं होते यदि............................... 

8)  3x²  - 2x+1/3 =  0 का विविक्तकर............ है।

 9). किसी द्विघात समीकरण के अधिक-से-अधिक....................... मूल हो सकते हैं। 

.  प्रश्न 4. सत्य / असत्य बताइए- 

i. द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 के मूल ज्ञात करने हेतु सूत्र - होता है। 

ii. यदि किसी द्विघात समीकरण के विविक्तकर का मान शून्य (0) है तो उसके मूल वास्तविक और समान होंगे |

 iii. द्विघात समीकरण के विविक्तकर के शून्य होने पर मूल बराबर नहीं होते।

 iv. x(x-1) = 0 में x का मान शून्य और एक है। 

 प्रश्न 3. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए:

(i). यदि किसी द्विघात समीकरण के विविक्तकर का मान धनात्मक हो तो उस समीकरण के मूलों की प्रकृति कैसी होगी ?

(ii). द्विघात समीकरण ax2 + bx + c =0  के विविक्तकर का सूत्र लिखिए |

 iii. द्विघात समीकरण 2x²+2x+2=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। 

iv. द्विघात समीकरण (x-4) (x-2) = 0 के मूल क्या होंगे ? 

v. द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 में a, b, c क्या है ? (म. प्र. 2023) 

vi. द्विघात समीकरण से मूल ज्ञात करने का सूत्र किसने दिया था ? 

vii. द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 के विविक्तकर ज्ञात करने का सूत्र लिखिए। (म. प्र. 2020, 23)

 viii. यदि a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a≠0 तब द्विघात समीकरण किस रूप का होगा ? 

ix. क्या (x+1)² = 2(x-3) एक द्विघात समीकरण है ? 

03 सही जोड़ी बनाइये ।

(i). द्विघात समीकरण का विविक्तकर  -  b2 - 4ac

(ii). द्विघात समीकरण का मानक रूप -  ax2 + bx + c =0

(iii). द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक नहीं - b2 - 4ac < 0

निर्धारित अंक  - 2

1. जाँच कीजिए कि समीकरण  x² - 2x = - 2(3 - x )  द्विघात समीकरण है या नही |      IMP     

2. जाँच कीजिए कि समीकरण 

(2x -1 ) (x - 3) = (x + 5) (x-1) द्विघात समीकरण है या नही |

3 . जाँच कीजिए कि समीकरण 

(x - 2 ) (x + 1 ) = (x - 1) (x + 3) द्विघात समीकरण है या नही |

4. गुणनखंड विधि से समीकरण  x² - 3x -  10 =0 को हल कीजिए ?

गुणनखंड विधि से समीकरण  6x² - x -  2 =0 को हल कीजिए ?  2026 IMP 🌺🌻🌺🌻🌺🌻🌺🌻

5. गुणनखंड विधि से समीकरण  2x² + x - 6 =0 को हल कीजिए ?

6. गुणनखंड विधि से समीकरण  2x² - 5x + 3 = 0 =0 को हल कीजिए ?

7. गुणनखंड विधि से समीकरण √2 x² + 7x + 5√2 =0 को हल कीजिए ?

8. द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0  में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए उनके मूल बराबर हो | IMP 

9. समीकरण 2x² + 5x + 3 = 0 के विविक्तकर का मान ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न 10. वर्ग समीकरण 2x²-4x+3=0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और मूलों की प्रकृति भी बताइए। (2026  IMP ) :

प्रश्न 11. वर्ग समीकरण 2x²-3x+5=0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।  

5. निम्नलिखित स्थिति को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए :

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है | हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है |

6.गुणनखंड विधि से समीकरण 100x² -20x +1 =0 को हल कीजिए ?

7. जाँच कीजिए कि समीकरण (x + 1)² = 2(x - 3) द्विघात समीकरण है या नही |

7.द्विघात समीकरण 2x²  - 3x + 5 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

8. द्विघात समीकरण 6x² - x - 2 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

PREPARED BY -PERSINGH NAGPURE (SIR) 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 5

समान्तर श्रेढ़ियाँ : 

1. समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d :- 

समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद ,स. श्रे. का पहला पद, स. श्रे. का प्रथम पद a कहलाता है | 

स. श्रे. का सार्वअन्तर D, किसी भी पद में उसके पीछे वाला पद घटाकर ज्ञात किया जा सकता है |

2. समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद :-

  यदि A.P. का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर D है तो 

समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र 

  an = 

3.

4.

5.

6.

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

1.यदि किसी समांतर श्रेणी का  n वाँ पद 3 + 2n हो तब श्रेणी का प्रथम पद ........ होगा  ?

निर्धारित अंक - 2

1.समान्तर श्रेणी 21,18,15 .......का कौनसा पद -81 है ?

2. श्रेणी 7,13,19 ...........205 में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए ?

3. A.P के प्रथम चार पद लिखिए जबकि 

प्रथम पद a = -1.25  सार्वअन्तर d = -0.25 है |

4. A.P : 2, -2, -6, -10 ........ के अगले चार पद लिखिए।

5. A.P : 4, -4, -12, -20 , ........ के अगले चार पद लिखिए।

(6). ऐसे प्रथम 10 धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 5 से विभाज्य हो | 

7. A.P. 7, 10,13....................का 8 वाँ पद ज्ञात कीजिए ?

8. A.P: 3,8,13,18 का कौन सा पद 78 है ?

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 6

त्रिभुज 

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

(i).दो समान कोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव........ होता है।

iii). एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए:

(i). क्या सभी वर्ग समरूप होते हैं ?

प्र. समरूप आकृतियाँ  किसे कहलाती है ? 

प्र. थेल्स प्रमेय का कथन लिखिए ? ( आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय ) 

प्र. दो त्रिभुजों की समरूपता की आवश्यक शर्ते लिखिए ?

प्र. आकृति में DE || BC है | AD ज्ञात कीजिए 

प्रश्न. आकृति में DE || BC है | EC ज्ञात कीजिए ?  

.

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 7

निर्देशांक  ज्यामित्ति 

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

बिन्दुओं (1,4) और (3.2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक लिए।

प्र . 1 बिन्दुओं (2, 3  )  और ( 4,1  ) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ? Imp 

प्र .2 बिन्दुओं (0,0  )  और ( 36,15   ) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ? Imp

प्र. 3 बिन्दुओं (-5,7) और (-1,3 ) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ?

प्र.4 बिन्दुओं ( a,b ) और (-a, -b  ) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ?

 

प्र. 5 उस बिन्द के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं ( 4, -3) और (8,5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को आंतरिक रूप से 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है | 

 प्र. 6 उस बिन्द के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं ( -1, 7) और (4,-3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को   2:3 के अनुपात में विभाजित करता है | 

 प्र.7  यदि बिन्दु  A (6,1),  B(8,2),   C (9,4) और D (p,3) एक समांतर चतुर्भज के शीर्ष इसी क्रम में हों ,तो p का मान ज्ञात कीजिए ? 

प्र . 8 बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ,जहाँ AB एक वृत्त का व्यास  है जिसका केन्द्र (2,-3) है और  B के निर्देशांक (1,4)  है | 

    गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 8 

त्रिकोणमिति का परिचय 

प्र. निम्नलिखित के मान निकालिए -

(i) sin60°cos30° + sin30°cos60°. Imp 

(ii) 2tan²45° + cos²30° - sin²60°

प्र. sin A = 3/4 तो cosA एवं tanA का मान ज्ञात कीजिए ?

प्र.  यदि 15cotA = 8 हो, तो SinA  और secA का मान ज्ञात कीजिए ?

प्र. यदि   A और B न्यून कोण हो, जहाँ cosA = cosB तो दिखाइए कि A = B

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 9

त्रिकोणमित्ति के कुछ अनुप्रयोग 

➡ दृष्टि रेखा : - प्रेक्षक की आँख को वस्तु से मिलाने वाली रेखा दृष्टि रेखा कहलाती है | 

➡ उन्नयन कोण - यदि कोई वस्तु हमारी आँख से उपर होती है अर्थात् दृष्टि रेखा ,क्षैतिज रेखा से उपर होती है तो इनके मध्य बनने वाला कोण उन्नयन कोण कहलाता है |

➡अवनमन कोण - यदि कोई वस्तु हमारी आँख से नीचे होती है अर्थात् दृष्टि रेखा, क्षैतिज रेखा से नीचे होती है तो इनके मध्य बनने वाला कोण अवनमन कोण कहलाता है | 

Note - उन्नयन कोण = अवनमन कोण 

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

(i). 3 मीटर ऊँची मीनार के पाद से 3 मीटर दूर स्थित बिंदु पर मीनार की चोटी का उन्नयन कोण ...…..होगा।

प्र.1 धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है | धरती के एक बिन्दु से ,जो मीनार के पाद - बिंदु से 15 m दूर है , मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ?

प्र.2  भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पास - बिंदु से 30m की दूरी पर है ,मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ?

 

प्र.3  भूमि से 60m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है | पतंग में लगी डोरी अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु  से बांध दिया गया है | भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है | यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है ,डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए ?

प्र.4  सर्कस का एक कलाकार एक 20m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखरसे बंधा हुआ  है | यदि भूमि  स्तर के साथ डोर व्दारा बनाया गया कोण 30° का तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए | 

 

प्र.5    1.5 m लंबी एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5m की दूरी पर है | उसकी आँखो से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है | चिमनी की ऊँचाई बताइए | 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 10

वृत्त

स्मरणीय तथ्य — 

➡ वृत्त की  अप्रतिच्छेदी रेखा  - वह रेखा जो वृत्त को किसी भी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नही करती अप्रतिच्छेदी रेखा कहलाती है |

➡ छेदक रेखा - वह रेखा जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है छेदक रेखा कहलाती है | 

➡ स्पर्श रेखा - वह रेखा जो वृत्त को केलल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद या स्पर्श करती हैं, स्पर्श रेखा कहलाती है | 

➡ वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या - 

वृत्त पर अन्तन स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं | 

प्रमेय 1 : वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श  रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या लम्ब होती है |

प्रमेय 2 : बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती है | 

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को कितने विन्दुओं पर स्पर्श करती है?

प्रश्न . 1 एक बिंदु Q  से वृत्त पर स्पर्श  की लम्बाई 24 सेमी. ,Q की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है | वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ? IMP 

प्रश्न .  एक बिंदु P  से वृत्त पर स्पर्श  की लम्बाई 8 सेमी. ,P की केन्द्र से दूरी 10 सेमी है | वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न .2 दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं | बड़े वृत्त की जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो | IMP 

प्रश्न . 3 सिध्द कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती है | 

प्रश्न . 4 सिध्द कीजिए कि " वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है | "  🙏🙏👈

प्रश्न .5 सिध्द कीजिए कि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती है | 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

  अध्याय - 11  

  वृत्तों से संबधित क्षेत्रफल   

 प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

प्रश्न .1  6 cm त्रिज्या  वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ,जिसका कोण 60° है |

प्र.2  एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ,जिसकी परिधि 22cm है | 

प्रश्न .3  एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है | इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ?

प्रश्न .4  त्रिज्या 21cm वाले  वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण  अंतरित करता है |

(i)    त्रिज्यखण्ड की लंबाई 

(ii) त्रिज्यखण्ड की क्षेत्रफल ज्ञात करो |  

प्रश्न .5  एक छतरी  में आठ ताने हैं ,जो बराबर दूरी पर लगे है ं | छतरी को 45 सेमी त्रिज्या का एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न .6   किसी कार  के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादुत नहीं होते हैं| प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है | पत्तियों  की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है , वह ज्ञात कीजिए | 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 12

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का सूत्र लिखिए ।

(vi) 

प्र.1 दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है | इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ?

 

प्र.2. लकड़ी के ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए एक वस्तु बनाई गई है ,जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है | यदि बेलन की ऊँचाई 10cm है और आधार की त्रिज्या 3.5cm है, तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ? ।

 

प्र.3   खिलौना त्रिज्या 3.5cm वाले एक शंकु के आकार का है जो त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है | इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5cm है इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल  कीजिए ?

प्रश्न.4  दवा का एक कैप्सूल एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक - एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति ) पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है | इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ?

प्रश्न.5 एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1cm हैं तथा शंकु की ऊँचाई जिसकी त्रिज्या के बराबर है | इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न.6  एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है  जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे़ बने हुए हैं | घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं | प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है | पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए ( देखिए आकृति ) 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय  - 13

सांख्यिकी 

2, 4, 8, 7, 5, 4, 9, 6, 7, 1, 7 का बहुलक क्या होगा?

प्रश्न .1  किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए :

दैनिक मजदूरी ( रूपयों में )	500 - 520	520-540	540-560	560-580	580-600
श्रमिकों की संख्या	12	14	8	6	10

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए ?

प्रश्न .2 निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर ( प्रतिशत में ) दर्शाती है | माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए ?

साक्षरता दर (% में )	45-55	55-65	65-75	75-85	85-95
नगरों की संख्या	3	10	11	8	3

प्रश्न . 3  नीचे दिया हुआ बंटन एक दिवसीय क्रिकेट  मैचों  में गेंदबाजों द्वारा लिए गए विकिटों की संख्या दर्शाता है | चुनते हुए लिए गए विकिटों का माध्य ज्ञात कीजिए ? 

विकटों की संख्या	20-60	60-100	100-150	150-250	250-350	350-450
गेंदबाजों की संख्या	7	5	16	12	2	3

प्रश्न 4 .दिए गए आंकड़ो के समान्तर माध्य (माध्य)  की गणना कीजिए —

वर्ग अंतराल	10-25	25-40	40-55	55-70	70-85	85-100
विद्यार्थियों की संख्या	2	3	7	6	6	6

प्रश्न 5. निम्नलिखित आँकड़े 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवनकाल ( घंटों में ) की सूचना देते हैं - 

जीवनकाल (घंटों में )	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
बारंबारता	20	45	57	65	38

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए | 

प्रश्न  निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है —

आयु (वर्षों में)	5-15	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65
रोगियों की संख्या	6	11	21	23	14	5

उपरोक्त आँकड़ो के बहुलक ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न विद्यार्थियों के एक समूह व्दारा मोहल्ले के 20 परिवारों पर सर्वेक्षण किए गए परिणामस्वरूप विभिन्न परिवारों के सदस्यों की निम्नलिखित जानकारी प्राप्त हुई -

परिवार की माप	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
परिवार की संख्या	7	8	2	2	1

इन आँकड़ो का बहुलक ज्ञात कीजिए ?

 

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा   

अध्याय - 14 

प्रायकिता 

महत्वपूर्ण तथ्य - 

➡ प्रायकिता 

प्रश्न - 2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए ? 

प्र.1  यदि P(E) = 0.05 है,तो 'E नही' की प्रायकिता ज्ञात कीजिए ? 

प्र.2   यदि P(E) = 0.06 है,तो 'E नही' की प्रायकिता ज्ञात कीजिए ? 

प्र.3  यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायकिता 0.992 है | इसकी क्या प्रायकिता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो ? 

  

प्रश्न 4. 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है | एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न 5. 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं | इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा ?

प्रश्न 6 . एक बक्से में 3 नीले , 2 सफेद और 4 लाल कंचे है | यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला गया तो इसकी प्रायिकता है कि यह कंचा 

(i) सफेद    (ii) नीला    (iii) लाल है | 

प्रश्न 7. एक डिब्बे  में 5 लाल  कंचे , 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे  है | यदि इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला गया तो इसकी प्रायिकता है कि यह कंचा 

(i)लाल है ?    (ii) सफेद है ?     (iii) हरा नही  है ? 

प्रश्न 8. एक थैंले में 3 लाल और 5 काली गेंदे हैं | इस थैले में से एक थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है | इसकी प्रायिकता क्या है कि 

(i) गेंद लाल हो? 

(ii) लाल नहीं हो ? 

प्रश्न 9. 52 पत्तों को एक बार फेंका जाता है | एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न 10. 52 पत्तों को एक बार फेंका जाता है | एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न 11. 52 पत्तों को एक बार फेंका जाता है | एक अभाज्य  संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ? 

प्रश्न12 . एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं —

इस पासे को एक बार फेंका जाता है | इसकी क्या प्रायिकता है कि 

(i) A प्राप्त हो ?

(ii) D प्राप्त हो ? 

प्रश्न 13. दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलती हैं | यदि संगीता व्दारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है ,तो रेशमा के जीतने की प्रायिकता क्या होगी ?

प्रश्न 13. हरप्रीत दो भिन्न - भिन्न सिक्कों को एक साथ उछालती है | इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम-से-कम एक चित प्राप्त करे | 

  Best  of  luck  

Thank you   

   गायत्री कोचिंग क्लासेस  

   पता - मैन बस स्टैंण्ड के पीछे शीतल ज्वेलर्स के     सामने चन्दनवाड़ा रोड चौरई जिला - छिन्दवाड़ा